第四十八章 我要交卷
三角形面积S=(1/2)absinC
=(1/2)ab·c/2R
=abc/4R,
“解:把1,2,…,13按如下规则排成一个圆圈:先排1,在1旁边放9(与1的差为8),在9的旁边放4(与9的差为5),这样继续放下去,每个数旁边的数与它相差8或5,最后得到如图1所示的一个圈(1,9,4,12,7,2,10,5,13,8,3,11,6),圈上的数能同时满足:”
“(1)每两个相邻的数的差或是8,或是5;
(2)两个不相邻的数的差既不等于5,也不等于8。
如此便将上面的S=abc/4R与3个四边形面积之和,建立起面积等式。
再根据3个四边形都有外接圆,且对角线相互垂直,用已知量来表示它们的面积并不会太难,再借助△ABC的外接圆半径R可以消去角的正弦,不出意外,轻易就能证明这题的结论。
OK,开干。
“证明:设△ABC内切圆与三边BC,CA,AB分别相切于D,E,F,分别连接EF,EI,FI,DI,AI,分别得到AEIF,BFID,CDIE三个四边形……”
所以本题可以化归为:在这个圈上,至多能选几个数,使得每两个数在圈上不相邻。”
OK,搞定,完成化归了。
面积法最基本的思想,就是用两种不同的方法计算同一个面积,得到的结果应该是相等的。
首先引入△ABC的外接圆半径R,由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,
秦克又向看第二题,第二题也相当有难度,难怪能选为附加卷的大题。
秦克刷刷刷地在试卷的答题区边写边画起来:
这个化归后的问题,是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了?
所以接下来秦克做起来毫无难度可言,直接将那例子的解法写出来就行了。
秦克轻松加愉快,在五分钟不到就搞定第一道附加题。
“附加题2:设△ABC中,顶点A,B,C的对边分别是a,b,c,内心I到顶点A,B,C的距离分别为m,n,l,求证:al^2+bm^2+cn^2=abc”
这一题看似条件不足无从下手,但秦克略一思索,便有了思路。
他决定用面积法来证明。
接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1,这时与之相邻的2,13都不能选了,把剩下的10个数字配成5对,分别是:(3,4)、(5,6)、(7,8)、(9,10)、(11,12)。在这5对数字中,每一对至多只能选出1个数,也就是说,连同数字1在内,最多只能选出6个数字,使它们互不相邻。
由此可以得出本问题的答案是:6。”
所以S=abc/4R。
再将△ABC分割为3个四边形,ΔABC的面积S,显然等于3个四边形的面积之和S。
他看了眼窗外,不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法,如果也能想起,那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
加油吧,学委,我只能帮你到这里了。
“再画一个圈,依次排上1,2,…,13,那么可以选出6个数字,符合不相邻的条件,比如1,3,5,7,9,11。见图2。
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